Нарушение условия Коши-Римана на комплексной плоскости

алгебраические фракталы на комплексной плоскости, Интерактив, Медиа

Нарушение условия Коши-Римана на комплексной плоскости

онлайн программа по путешествию на множествах Жулиа и Мандельброта с нарушением условия Коши-Римана инструкция Довольно сложно увидеть фрактал из-за высокой нелинейности но если очень аккуртано найти мышкой области близкие к комплексным появятся довольно сложные цветные рисунки // [j]  переключение julia/mandelbrot // [f] режим полета // [g][h] домой // [a] [A] анимировать цветовую гамму // [s] […]

 

Февраль 15th, 2010

онлайн программа по путешествию на множествах Жулиа и Мандельброта с нарушением условия Коши-Римана

инструкция

Довольно сложно увидеть фрактал из-за высокой нелинейности но если очень аккуртано найти мышкой области близкие к комплексным появятся довольно сложные цветные рисунки

// [j]  переключение julia/mandelbrot
// [f] режим полета
// [g][h] домой
// [a] [A] анимировать цветовую гамму
// [s] [S] количество цветов
// [d] [D] количество итераций
мышь
// перетаскивание мыши для изменения параметров множества Мандельброта
// shift-перетаскивание  для изменения параметров множества Жюлиа
// [левая кнопка] перетаскивание
// [правая кнопка] зум
// [колесо мыши] вращение
режим полета
// hold and move the mouse to dive in.
// shift-move it to fly through the space of julia sets
// [left] zoom in & move
// [right] zoom out & move
// [center] zoom & rotate
// Note: You can press [ctrl] and [alt] while using the mouse
// to emulate middle and right mouse buttons …

ЗАПУСТИТЬ НА ВЕСЬ ЭКРАН >>>

Условия Коши — Римана, называемые также условиями д’Аламбера — Эйлера — соотношения, связывающие вещественную \,u=u(x,y) и мнимую \,v=v(x,y) части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного \,w=f(z)=u+iv,\  z=x+iy.

Формулировка


В декартовых координатах

Для того чтобы функция \,w=f(z), определённая в некоторой области \,D комплексной плоскости, была дифференцируема в точке \,z_0=x_0+iy_0 как функция комплексного переменного \,z, необходимо и достаточно, чтобы её вещественная и мнимая части \,u и \,v были дифференцируемы в точке \,(x_0,y_0) как функции вещественных переменных \,x и \,y и чтобы, кроме того, в этой точке выполнялись условия Коши — Римана:

\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} ;
\frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x} .

Компактная запись:

\frac{\partial f}{\partial x} + i \frac{\partial f}{\partial y} = 0 .

Если условия Коши — Римана выполнены, то производная \,f'(z) представима в любой из следующих форм:

\,f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - i \frac{\partial u}{\partial y}.


В полярных координатах

В полярной системе координат (r, \varphi) условия Коши-Римана выглядит так:

\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \varphi};\quad \frac{\partial u}{\partial \varphi} = -r \frac{\partial v}{\partial r}.

Компактная запись:

\frac{\partial f}{\partial r} + \frac{i}{r}\frac{\partial f}{\partial \varphi} = 0 .


Связь модуля и аргумента дифференцируемой комплексной функции

Часто удобно записывать комплексную функцию в показательной форме:

\,f(z) = R(x, y) e^{i \Phi (x, y)}

Тогда условия Коши-Римана связывают модуль \,R и аргумент \,\Phi функции следующим образом:

\frac{\partial R}{\partial x} = R \frac{\partial \Phi}{\partial y};\quad\frac{\partial R}{\partial y} = - R \frac{\partial \Phi}{\partial x}


Геометрический смысл условий Коши-Римана

Пусть функция w=f(z)=u(x, y)+iv(x, y),\  z=x+iy дифференцируема. Рассмотрим в комплексной плоскости (x,y) два семейства кривых (линии уровня).

Первое семейство: u(x,y) = const.
Второе семейство: v(x,y) = const.

Тогда условия Коши-Римана означают, что кривые первого семейства ортогональны кривым второго семейства.


История

Эти условия впервые появились в работе д’Аламбера (1752). В работе Эйлера, доложенной Петербургской академии наук в 1777 году, условия получили впервые характер общего признака аналитичности функций.

Коши пользовался этими соотношениями для построения теории функций, начиная с мемуара, представленного Парижской академии наук в 1814 году. Знаменитая диссертация Римана об основах теории функций относится к 1851 году.


Литература

  • Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука1968. — 472 с.
  • Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
  • Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1974. — 320 с.
  • Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука1980. — 464 с.
  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука1969. — 577 с.
There are no responses so far.
Leave your response

You must be logged in to post a comment.