Нарушение условия Коши-Римана на комплексной плоскости

15 Фев 2010

15 февраля, 2010

Нарушение условия Коши-Римана на комплексной плоскости

алгебраические фракталы на комплексной плоскости, Интерактив, Медиа

онлайн программа по путешествию на множествах Жулиа и Мандельброта с нарушением условия Коши-Римана

инструкция

Довольно сложно увидеть фрактал из-за высокой нелинейности но если очень аккуртано найти мышкой области близкие к комплексным появятся довольно сложные цветные рисунки

// [j] переключение julia/mandelbrot

// [f] режим полета

// [g][h] домой

// [a] [A] анимировать цветовую гамму

// [s] [S] количество цветов

// [d] [D] количество итераций

мышь

// перетаскивание мыши для изменения параметров множества Мандельброта

// shift-перетаскивание для изменения параметров множества Жюлиа

// [левая кнопка] перетаскивание

// [правая кнопка] зум

// [колесо мыши] вращение

режим полета

// hold and move the mouse to dive in.

// shift-move it to fly through the space of julia sets

// [left] zoom in & move

// [right] zoom out & move

// [center] zoom & rotate

// Note: You can press [ctrl] and [alt] while using the mouse

// to emulate middle and right mouse buttons …

ЗАПУСТИТЬ НА ВЕСЬ ЭКРАН >>>

Условия Коши — Римана, называемые также условиями д’Аламбера — Эйлера — соотношения, связывающие вещественную $\,u=u(x,y)$ и мнимую $\,v=v(x,y)$ части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного $\,w=f(z)=u+iv,\ z=x+iy$ .

Формулировка

В декартовых координатах

Для того чтобы функция $\,w=f(z)$ , определённая в некоторой области $\,D$ комплексной плоскости, была дифференцируема в точке $\,z_0=x_0+iy_0$ как функция комплексного переменного $\,z$ , необходимо и достаточно, чтобы её вещественная и мнимая части $\,u$ и $\,v$ были дифференцируемы в точке $\,(x_0,y_0)$ как функции вещественных переменных $\,x$ и $\,y$ и чтобы, кроме того, в этой точке выполнялись условия Коши — Римана:

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} ;$

$\frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x} .$

Компактная запись:

$\frac{\partial f}{\partial x} + i \frac{\partial f}{\partial y} = 0 .$

Если условия Коши — Римана выполнены, то производная $\,f'(z)$ представима в любой из следующих форм:

$\,f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - i \frac{\partial u}{\partial y}.$

В полярных координатах

В полярной системе координат $(r, \varphi)$ условия Коши-Римана выглядит так:

$\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \varphi};\quad \frac{\partial u}{\partial \varphi} = -r \frac{\partial v}{\partial r}.$

Компактная запись:

$\frac{\partial f}{\partial r} + \frac{i}{r}\frac{\partial f}{\partial \varphi} = 0 .$

Связь модуля и аргумента дифференцируемой комплексной функции

Часто удобно записывать комплексную функцию в показательной форме:

$\,f(z) = R(x, y) e^{i \Phi (x, y)}$

Тогда условия Коши-Римана связывают модуль $\,R$ и аргумент $\,\Phi$ функции следующим образом:

$\frac{\partial R}{\partial x} = R \frac{\partial \Phi}{\partial y};\quad\frac{\partial R}{\partial y} = - R \frac{\partial \Phi}{\partial x}$

Геометрический смысл условий Коши-Римана

Пусть функция $w=f(z)=u(x, y)+iv(x, y),\ z=x+iy$ дифференцируема. Рассмотрим в комплексной плоскости $(x, y)$ два семейства кривых (линии уровня).

Первое семейство:

u (x, y) = c o n s t .

Второе семейство:

v (x, y) = c o n s t .

Тогда условия Коши-Римана означают, что кривые первого семейства ортогональны кривым второго семейства.

История

Эти условия впервые появились в работе д’Аламбера (1752). В работе Эйлера, доложенной Петербургской академии наук в 1777 году, условия получили впервые характер общего признака аналитичности функций.

Коши пользовался этими соотношениями для построения теории функций, начиная с мемуара, представленного Парижской академии наук в 1814 году. Знаменитая диссертация Римана об основах теории функций относится к 1851 году.

Литература

Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1974. — 320 с.
Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.

featured

РАЗРАБОТКА И ПРОДВИЖЕНИЕ
ВЫСКОТЕХНОЛОГИЧНЫХ ПОРТАЛОВ,
ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫХ СИСТЕМ
И ИНТЕРФЕЙСОВ ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ